Un réseau sociala
Objectif
Découvrir la notion de matrice et quelques opérations associées.
Afin de fabriquer des vêtements, on utilise du tissu, du fil et des boutons.
Les tableaux ci-contre récapitulent les quantités néces- saires pour coudre une robe, une chemise ou un jean, ainsi que les prix par fourniture.
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On peut résumer chacun des tableaux en ne conservant que les nombres. On obtient alors différents tableaux de nombres appelés matrices, notées ici M et P.
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KJ2,70
1,50
3ON
JK9,95NO
On a M = K 1,70 0,70 5O et P = K 1,99 O.
O K O
K1,50 0,50 1 O K 0,5 O
P L P
M
est une matrice possédant autant de lignes que de colonnes. On dit que M est
une matrice carrée. Elle est ici de taille 3.
P est une matrice formée d’une unique colonne. On dit que P est une matrice colonne.
Calculer le prix de fabrication d’une robe. Faire de même pour une chemise et pour un jean.
1
Résumer les résultats obtenus en une matrice colonne T, contenant une ligne pour chaque article en conservant l’ordre robe, chemise, puis jean.
On admet que l’on peut écrire M # P = T.
On souhaite fabriquer dix robes, dix chemises et dix jeans.
2
Écrire la matrice N contenant trois lignes et trois colonnes pour résumer les quantités nécessaires à cette nouvelle fabrication.
Quelle opération peut-on conjecturer entre M et N ?
Conjecturer une méthode pour multiplier :
Bilan • une matrice par un nombre réel ;
une matrice carrée de taille 3 par une matrice colonne à 3 lignes.
Un réseau socialb
Adeline, Bakary, Camille, Damien, Élodie, Farid et Gabriel sont inscrits sur un réseau social.
Adeline est amie avec Bakary, Élodie et Farid.
Bakary est ami avec Adeline, Damien et Farid.
Camille est amie avec Élodie et Gabriel.
Damien est ami avec Bakary, Élodie et Gabriel.
Gabriel
Objectif
Découvrir la notion de graphe.
Farid
Adeline
Bakary
Camille
Élodie Damien
176
LLS.fr/MXPP176
Reproduire et compléter le schéma précédent, en traçant des segments représentant la relation d’amitié qui lie deux personnes.
1
Un tel schéma s’appelle un graphe. Les personnes sont représentées par les sommets et les relations d’amitié sont matérialisées par les arêtes.
L’ordre d’un graphe est le nombre de ses sommets. Quel est l’ordre du graphe représenté ?
2
Deux sommets sont adjacents lorsqu’ils sont reliés par une arête.
3
Citer deux sommets qui sont adjacents et deux sommets qui ne le sont pas.
Un graphe est complet lorsque tous ses sommets sont adjacents. Est-ce le cas ici ?
Une chaîne est une suite d’arêtes consécutives reliant deux sommets.
4
Par exemple, la chaîne Gabriel - Camille - Élodie est une chaîne de longueur 2.
Déterminer deux chaînes reliant Adeline à Gabriel et préciser leur longueur.
Un graphe est connexe lorsque, pour tout couple de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant. Est-ce le cas ici ?
Bilan
Dans le contexte de l’énoncé, comment interpréter le fait que le graphe soit complet ? Soit connexe ?
c
A
Objectif
Utiliser le calcul matriciel pour calculer le nombre de chaînes
de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe.
B
D
E
Les sommets du graphe ci-contre représentent différentes villes d’un pays. Les liaisons ferroviaires les reliant sont représentées par des arêtes.
Reproduire et compléter le tableau ci-dessous avec un 1 lorsque l’on peut se
1
rendre directement d’une ville à l’autre en train sans faire étape par une autre C
ville et avec un 0 si c’est impossible.
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Notons M la matrice carrée dont les coefficients sont les nombres obtenus dans le tableau précédent.
2
À l’aide de la calculatrice, déterminer M 2 et M 3.
Déterminer le nombre de chemins composés de deux arêtes pour aller de la ville D à la ville A et comparer ce nombre avec le coefficient m4 de la matrice M 2.
3
,1
Déterminer le nombre de chemins composés de 3 arêtes pour aller de la ville C à la ville D et comparer ce
4
nombre avec le coefficient m4,3
de la matrice M 3.
Bilan
Pour un graphe donné, conjecturer une méthode permettant de
calculer le nombre de chaînes de longueur k entre deux sommets.
Chapitre 6. Calcul matriciel et applications aux graphes
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LLS.fr/MXPP177